Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array}]$

Bước 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Bước 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Bước 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Bước 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Bước 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 1.9

Add the terms together.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} | + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 2

Tính $| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (1 (a + b) - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $a + b$ với $1$ .

$- a (a + b - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- a (a + b - a - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 2.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $a + b - a - c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $a$ khỏi $a$ .

$- a (b + 0 - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 2.2.2.2

Cộng $b$ và $0$ .

$- a (b - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 3

Tính $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (1 (a + b) - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $a + b$ với $1$ .

$- a (b - c) + b (a + b - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 3.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- a (b - c) + b (a + b - b - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $a + b - b - c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Trừ $b$ khỏi $b$ .

$- a (b - c) + b (a + 0 - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 3.2.2.2

Cộng $a$ và $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Bước 4

Tính $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (1 (a + c) - (b + c))$

Bước 4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $a + c$ với $1$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - (b + c))$

Bước 4.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - b - c)$

Bước 4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $a + c - b - c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $c$ khỏi $c$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b + 0)$

Bước 4.2.2.2

Cộng $a - b$ và $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b)$

Bước 5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- a b - a (- c) + b (a - c) - c (a - b)$

Bước 5.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- a b - 1 \cdot - 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Bước 5.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- a b + 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Bước 5.1.3.2

Nhân $a$ với $1$ .

$- a b + a c + b (a - c) - c (a - b)$

Bước 5.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- a b + a c + b a + b (- c) - c (a - b)$

Bước 5.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- a b + a c + b a - b c - c (a - b)$

Bước 5.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- a b + a c + b a - b c - c a - c (- b)$

Bước 5.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- a b + a c + b a - b c - c a - 1 \cdot - 1 c b$

Bước 5.1.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + 1 c b$

Bước 5.1.8.2

Nhân $c$ với $1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + c b$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- a b + a c + b a - b c - c a + c b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- a b$ và $b a$ .

$- a b + a c + a b - b c - c a + c b$

Bước 5.2.2

Cộng $- a b$ và $a b$ .

$a c + 0 - b c - c a + c b$

Bước 5.2.3

Cộng $a c$ và $0$ .

$a c - b c - c a + c b$

Bước 5.2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $a c$ và $- c a$ .

$a c - b c - a c + c b$

Bước 5.2.5

Trừ $a c$ khỏi $a c$ .

$- b c + 0 + c b$

Bước 5.2.6

Cộng $- b c$ và $0$ .

$- b c + c b$

Bước 5.2.7

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- b c$ và $c b$ .

$- b c + b c$

Bước 5.2.8

Cộng $- b c$ và $b c$ .

$0$